Table 3 Equivalence between the higher order Ising spin interaction terms and the equivalent energy function.
Second order interactions (\({s}_{i}.{s}_{j}\)) | |||
|---|---|---|---|
\({s}_{i}{ s}_{j}\) | \({s}_{i}.{s}_{j}\) | \({\phi }_{i} {\phi }_{j}\) | \(\mathrm{cos}\left({\phi }_{i}-{\phi }_{j}\right)\) |
− 1 − 1 | + 1 | \(\pi \pi\) | + 1 |
− 1 + 1 | − 1 | \(\pi 0\) | − 1 |
+ 1 − 1 | − 1 | \(0 \pi\) | − 1 |
+ 1 + 1 | + 1 | \(0 0\) | + 1 |
Third order interactions (\({s}_{i}.{s}_{j}.{s}_{k}\)) | |||
|---|---|---|---|
\({s}_{i} {s}_{j} {s}_{k}\) | \({s}_{i}.{s}_{j}.{s}_{k}\) | \({\phi }_{i} {\phi }_{j}{ \phi }_{k}\) | \(\mathrm{cos}\left({\phi }_{i}-{\phi }_{j}+{\phi }_{k}\right)\) |
− 1 − 1 − 1 | − 1 | \(\pi \pi \pi\) | − 1 |
− 1 − 1 + 1 | + 1 | \(\pi \pi 0\) | + 1 |
− 1 + 1 − 1 | + 1 | \(\pi 0 \pi\) | + 1 |
− 1 + 1 + 1 | − 1 | \(\pi 0 0\) | − 1 |
+ 1 − 1 − 1 | + 1 | \(0 \pi \pi\) | + 1 |
+ 1 − 1 + 1 | − 1 | \(0 \pi 0\) | − 1 |
+ 1 + 1 − 1 | − 1 | \(0 0 \pi\) | − 1 |
+ 1 + 1 + 1 | + 1 | \(0 0 0\) | + 1 |
Fourth order interactions (\({s}_{i}.{s}_{j}.{s}_{k}.{s}_{l}\)) | |||
|---|---|---|---|
\({s}_{i} {s}_{j} {s}_{k} {s}_{l}\) | \({s}_{i}.{s}_{j}.{s}_{k}.{s}_{l}\) | \({\phi }_{i} {\phi }_{j}{ \phi }_{k} {\phi }_{l}\) | \(\mathrm{cos}\left({\phi }_{i}-{\phi }_{j}+{\phi }_{k}-{\phi }_{l}\right)\) |
− 1 − 1 − 1 − 1 | + 1 | \(\pi \pi \pi \pi\) | + 1 |
− 1 − 1 − 1 + 1 | − 1 | \(\pi \pi \pi 0\) | − 1 |
− 1 − 1 + 1 − 1 | − 1 | \(\pi \pi 0 \pi\) | − 1 |
− 1 − 1 + 1 + 1 | + 1 | \(\pi \pi 0 0\) | + 1 |
− 1 + 1 − 1 − 1 | − 1 | \(\pi 0 \pi \pi\) | − 1 |
− 1 + 1 − 1 + 1 | + 1 | \(\pi 0 \pi 0\) | + 1 |
− 1 + 1 + 1 − 1 | + 1 | \(\pi 0 0 \pi\) | + 1 |
− 1 + 1 + 1 + 1 | − 1 | \(\pi 0 0 0\) | − 1 |
+ 1 − 1 − 1 − 1 | − 1 | \(0 \pi \pi \pi\) | − 1 |
+ 1 − 1 − 1 + 1 | + 1 | \(0 \pi \pi 0\) | + 1 |
+ 1 − 1 + 1 − 1 | + 1 | \(0 \pi 0 \pi\) | + 1 |
+ 1 − 1 + 1 + 1 | − 1 | \(0 \pi 0 0\) | − 1 |
+ 1 + 1 − 1 − 1 | + 1 | \(0 0 \pi \pi\) | + 1 |
+ 1 + 1 − 1 + 1 | − 1 | \(0 0 \pi 0\) | − 1 |
+ 1 + 1 + 1 − 1 | − 1 | \(0 0 0 \pi\) | − 1 |
+ 1 + 1 + 1 + 1 | + 1 | \(0 0 0 0\) | + 1 |
